Как дополнить до полного квадрата

• Преобразование стандартного уравнения к вершинной форме
• Решение квадратного уравнения

Дополнение до полного квадрата - полезный метод, который позволяет записать квадратное уравнение в форме, легкой для представления и решения. Вы можете дополнить до полного квадрата сложное квадратное уравнение и даже решить его. Если вы хотите научиться делать это, выполните следующие действия.

Преобразование стандартного уравнения к вершинной форме

Запишите уравнение.

Например, 3x2 - 4x + 5.

Вынесите за скобки коэффициент при первых двух членах.

Чтобы вынести за скобки 3 из первых двух членов, разделите каждый из них на 3. 3x2 делить на 3 = x2 и 4x делить на 3 = 4/3x. Итак, новое уравнение записывается как: 3(x2 - 4/3x) + 5. Свободный член 5 остается за скобками, так как его мы не делим на 3.

Делим на 2 второй член и возводим его в квадрат.

Вторым членом, называемым b, является 4/3 . Делим его на 2: 4/3 ÷ 2 , или 4/3 х 1/2, равно 2/3 . Теперь возводим это значение в квадрат путем возведения в квадрат числителя и знаменателя дроби. (2/3)2 = 4/9.

Прибавьте и вычтите полученную величину к/из уравнения.

Нам нужен этот "лишний" член, чтобы дополнить уравнение до полного квадрата. Запомните, что вы одновременно добавляете и вычитаете новый член, поэтому исходное уравнение не меняется. Новое уравнение должно выглядеть следующим образом: 3( x2 - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.

Вынесите за скобку новый член со знаком минус.

Поскольку перед скобкой стоит множитель 3, вы не можете просто вынести -4/9. Сначала умножьте его на 3: -4/9 х 3 = -12/9, или -4/3. Если вы работаете с уравнением, где коэффициент при x2 отсутствует (то есть равен 1), то можете пропустить этот шаг.

Преобразуйте слагаемые в скобках в полный квадрат.

В скобках осталось выражение: 3(x2 -4/3x +4/9). Вы нашли 4/9, которое дополняет два первых слагаемых до полного квадрата: 3(x - 2/3)2. Вы можете проверить решение, возведя выражение в скобках в квадрат:

• 3(x - 2/3)2 =
• 3(x - 2/3)(x -2/3) =
• 3[(x2 -2/3x -2/3x + 4/9)]
• 3(x2 - 4/3x + 4/9)

Сложите свободные члены.

У нас осталось два свободных члена: 3(x - 2/3)2 - 4/3 + 5. Сложите их вместе: -4/3 + 5 = 11/3. Это можно сделать, приведя их к общему знаменателю.

• -4/3 + 15/3 = 11/3.

Запишите уравнение в вершинной форме.

Окончательный вид уравнения: 3(x - 2/3)2 + 11/3, что соответствует вершинной форме a( x - h )2 + k, где k – свободный член.

Решение квадратного уравнения

Запишите уравнение.

Например: 3x2 + 4x + 5 = 6

Перенесите все члены уравнения на одну сторону и приравняйте его к 0.

В нашем примере сложите свободные члены (члены уравнения без переменной): 5+(-6)=-1. Теперь уравнение записывается как:3x2 + 4x - 1 = 0.

Вынесите за скобку коэффициент при переменной высшего порядка.

В нашем случае 3 является коэффициентом x2. Теперь уравнение записывается в виде: 3(x2 + 4/3x - 1/3) = 0.

Избавьтесь от множителя перед скобкой.

Просто перенесите его в правую часть уравнения (разделите 0 на 3 = 0). Теперь наше уравнение: x2 + 4/3x - 1/3 = 0

Делим на 2 второй член и возводим его в квадрат.

Вторым членом, называемым b, является 4/3 . Делим его на 2: 4/3 ÷ 2 , или 4/3 х 1/2=4/6=2/3. Квадрат 2/3 = 4/9. Так как вы добавляете новый член, нужно добавить его к обеим сторонам уравнения, чтобы оно не изменилось:x2 + 4/3 x + 2/32 - 1/3 = 2/32 .......