Образование-и-коммуникации

Как решать дифференциальные уравнения

  • Уравнения первого порядка
  • Уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение — это уравнение, в которое входят функция и одна или несколько ее производных. В большинстве практических задач функции представляют собой физические величины, производные соответствуют скоростям изменения этих величин, а уравнение определяет связь между ними.


В данной статье рассмотрены методы решения некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых могут быть записаны в виде элементарных функций, то есть полиномиальных, экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических, а также обратных им функций. Многие из этих уравнений встречаются в реальной жизни, хотя большинство других дифференциальных уравнений нельзя решить данными методами, и для них ответ записывается в виде специальных функций или степенных рядов, либо находится численными методами.


Для понимания данной статьи необходимо владеть дифференциальным и интегральным исчислением, а также иметь некоторое представление о частных производных. Рекомендуется также знать основы линейной алгебры в применении к дифференциальным уравнениям, особенно к дифференциальным уравнениям второго порядка, хотя для их решения достаточно знания дифференциального и интегрального исчисления.

Уравнения первого порядка

Линейные уравнения первого порядка.

В данном разделе рассмотрены методы решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка в общих и специальных случаях, когда некоторые члены равны нулю. Предположим, что y=y(x),{\displaystyle y=y(x),} p(x){\displaystyle p(x)} и q(x){\displaystyle q(x)} являются функциями x.{\displaystyle x.}

dydx+p(x)y=q(x){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+p(x)y=q(x)}

p(x)=0.{\displaystyle p(x)=0.} Согласно одной из основных теорем математического анализа, интеграл от производной функции также является функцией. Таким образом, достаточно просто проинтегрировать уравнение, чтобы найти его решение. При этом следует учесть, что при вычислении неопределенного интеграла появляется произвольная постоянная.

  • y(x)=∫q(x)dx{\displaystyle y(x)=\int q(x)\mathrm {d} x}

q(x)=0.{\displaystyle q(x)=0.} Используем метод разделения переменных. При этом различные переменные переносятся в разные стороны уравнения. Например, можно перенести все члены с y{\displaystyle y} в одну, а все члены с x{\displaystyle x} в другую сторону уравнения. Можно переносить также члены dx{\displaystyle \mathrm {d} x} и dy{\displaystyle \mathrm {d} y}, которые входят в выражения производных, однако следует помнить, что это всего лишь условное обозначение, которое удобно при дифференцировании сложной функции. Обсуждение этих членов, которые называются дифференциалами, выходит за рамки данной статьи.

  • Во-первых, необходимо перенести переменные по разные стороны знака равенства.
    • 1ydy=−p(x)dx{\displaystyle {\frac {1}{y}}\mathrm {d} y=-p(x)\mathrm {d} x}
  • Проинтегрируем обе стороны уравнения. После интегрирования с обеих сторон появятся произвольные постоянные, которые можно перенести в правую часть уравнения.
    • ln⁡y=∫−p(x)dx{\displaystyle \ln y=\int -p(x)\mathrm {d} x}
    • y(x)=e−∫p(x)dx{\displaystyle y(x)=e^{-\int p(x)\mathrm {d} x}}
  • Пример 1.1. На последнем шаге мы использовали правило ea+b=eaeb{\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}} и заменили eC{\displaystyle e^{C}} на C{\displaystyle C}, поскольку это также произвольная постоянная интегрирования.
    • dydx−2ysin⁡x=0{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}-2y\sin x=0}
    • 12ydy=sin⁡xdx12ln⁡y=−cos⁡x+Cln⁡y=−2cos⁡x+Cy(x)=Ce−2cos⁡x{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2y}}\mathrm {d} y&=\sin x\mathrm {d} x\\{\frac {1}{2}}\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^{-2\cos x}\end{aligned}}}

p(x)≠0, q(x)≠0.{\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.} Для нахождения общего решения мы ввели интегрирующий множитель μ(x){\displaystyle \mu (x)} в виде функции от x{\displaystyle x}, чтобы свести левую часть к общей производной и таким образом решить уравнение.

  • Умножим обе стороны на μ(x){\displaystyle \mu (x)}
    • μdydx+μpy=μq{\displaystyle \mu {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\mu py=\mu q}
  • Чтобы свести левую часть к общей производной, необходимо сделать следующие преобразования:
    • ddx(μy)=dμdxy+μdydx=μdydx+μpy{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\mu y)={\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} x}}y+\mu {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\mu {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\mu py}
  • Последнее равенство означает, что dμdx=μp{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} x}}=\mu p}. Это интегрирующий множитель, которого достаточно для решения любого линейного уравнения первого порядка. Теперь можно вывести формулу решения данного уравнения относительно μ,{\displaystyle \mu ,} хотя для тренировки полезно проделать все промежуточные вычисления.
    • μ(x)=e∫p(x)dx{\displaystyle \mu (x)=e^{\int p(x)\mathrm {d} x}}
  • Пример 1.2. В данном примере рассмотрено, как найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.
    • tdydt+2y=t2,y(2)=3{\displaystyle t{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+2y=t^{2},\quad y(2)=3}
    • dydt+2ty=t{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {2}{t}}y=t}
    • μ(x)=e∫p(t)dt=e2ln⁡t=t2{\displaystyle \mu (x)=e^{\int p(t)\mathrm {d} t}=e^{2\ln t}=t^{2}}
    • ddt(t2y)=t3t2y=14t4+Cy(t)=14t2+Ct2{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(t^{2}y)&=t^{3}\\t^{2}y&={\frac {1}{4}}t^{4}+C\\y(t)&={\frac {1}{4}}t^{2}+{\frac {C}{t^{2}}}\end{aligned}}}
    • 3=y(2)=1+C4,C=8{\displaystyle 3=y(2)=1+{\frac {C}{4}},\quad C=8}
    • y(t)=14t2+8t2{\displaystyle y(t)={\frac {1}{4}}t^{2}+{\frac {8}{t^{2}}}}

Решение линейных уравнений первого порядка (запись Интуита – национального открытого университета). .......

Полный текст новости доступен на источнике

Продолжить читать на источнике ➔

Популярные статьи в разделе: Образование-и-коммуникации

Иконка предмета
Образование-и-коммуникации, 15.11.2019 14:18
Как определить эмпирическую формулу
Иконка предмета
Образование-и-коммуникации, 15.11.2019 14:18
Как делить логарифмы
Иконка предмета
Образование-и-коммуникации, 15.11.2019 14:18
Как стать художником граффити
Иконка предмета
Образование-и-коммуникации, 15.11.2019 14:19
Как найти площадь и периметр
Иконка предмета
Образование-и-коммуникации, 15.11.2019 14:19
Как изготовить рамку для картины
Иконка предмета
Образование-и-коммуникации, 15.11.2019 14:19
Как писать на галлифрейском
Иконка предмета
Образование-и-коммуникации, 15.11.2019 14:19
Как написать описательное эссе
Иконка предмета
Образование-и-коммуникации, 15.11.2019 14:19
Как быть внимательным на скучном уроке
Иконка предмета
Образование-и-коммуникации, 15.11.2019 14:19
Как разложить число на множители
Иконка предмета
Образование-и-коммуникации, 15.11.2019 14:19
Как повысить эффективность запоминания флеш карт
Иконка предмета
Образование-и-коммуникации, 15.11.2019 14:19
Как правильно написать слово "серый" на английском языке
Иконка предмета
Образование-и-коммуникации, 15.11.2019 14:19
Как решить линейное уравнение
У тебя есть свой ответ?
Как решать дифференциальные уравнения...
Отправлено

Популярные статьи сегодня

Категория
Искусство-и-развлечения, 16.11.2019 12:21
Категория
Образование-и-коммуникации, 16.11.2019 12:21
У тебя есть свой ответ?
Как решать дифференциальные уравнения...
Отправлено
/* */