Как продифференцировать неявную функцию

• Нахождение производной простой функции
• Продвинутые методы
• Источники

Когда вам дана явная функция, у которой зависимая переменная обособлена на одной стороне от знака равенства (например, y = x2 -3x), то вы запросто можете продифференцировать ее (то есть найти ее производную). Но неявные функции (например, x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19), в которых обособить зависимую переменную не так просто, дифференцируют по другому.

Нахождение производной простой функции

На обеих сторонах функции найдите (стандартным способом) производные членов, содержащих независимую переменную «х», и производные свободных членов.

На этом этапе члены, содержащие зависимую переменную «у», пока не трогайте. Например, дана функция x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19.

• В нашем примере x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19 есть два члена с переменной «х»: x2 и -5x. Найдите их производные: x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19 (Показатель степени 2 в x2 сделайте множителем, в -5x избавьтесь от «х», а производная 19 равна 0) 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0

Теперь возьмите производные от членов с переменной «у» и припишите к ним (dy/dx).

Например, при нахождении производной члена y2 запишите ее так: 2y(dy/dx). На этом этапе члены, содержащие обе переменные («х» и «у»), пока не трогайте.

• В нашем примере 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0 продифференцируйте члены y2 и 8y: 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0 (Показатель степени 2 в у2 сделайте множителем, а в 8у избавьтесь от «у»; затем припишите к полученным производным dx/dy) 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy2= 0

Для нахождения производной члена, содержащего произведение двух переменных («х» и «у»), воспользуйтесь правилом дифференцирования произведения функций:

(f × g)' = f' × g + g × f', где вместо f подставьте «х», а вместо g – «у».(f/g)' = (g × f' - g' × f)/g2, где вместо f подставьте «х», а вместо g – «у» (или наоборот в зависимости от данной вам функции).

• В нашем примере 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2ху2 = 0 есть один член с обеими переменными: 2xy2. Так как здесь переменные перемножаются, воспользуйтесь правилом дифференцирования произведения функций: 2xy2 = (2x)(y2)— пусть 2x = f и y2 = g в (f × g)' = f' × g + g × f' (f × g)' = (2x)' × (y2) + (2x) × (y2)' (f × g)' = (2) × (y2) + (2x) × (2y(dy/dx)) (f × g)' = 2y2 + 4xy(dy/dx)
• Добавьте эти члены в основную функцию и получите: 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y2 + 4xy(dy/dx) = 0

Обособьте (dy/dx).

Имейте в виду, что любые два члена «а» и «b», которые умножаются на (dy/dx), можно записать в виде (a + b)(dy/dx).

• В нашем примере 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y2 + 4xy(dy/dx) = 0: 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y2 + 4xy(dy/dx) = 0 (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) + 2x - 5 + 2y2 = 0 (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) = -2y2 - 2x + 5 (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

Продвинутые методы

Подставьте значения (x,y), чтобы найти (dy/dx) для любой точки.

Обособив (dy/dx), вы нашли производную неявной функции. Используя эту производную, вы можете найти угловой коэффициент касательной в любой точке (х,у), просто подставив в найденную производную координаты «х» и «у».

• Например, необходимо найти угловой коэффициент касательной в точке А (3,-4). Для этого в производную вместо «х» подставьте 3, а вместо «у» подставьте -4: (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4) (dy/dx) = (-2(-4)2 - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4) (dy/dx) = (-2(16) - 6 + 5)/(2(2(3)(-4)) (dy/dx) = (-32) - 6 + 5)/(2(2(-12)) (dy/dx) = (-33)/(2(2(-12)) (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48 = 0,6875.

Воспользуйтесь цепным правилом дифференцирования сложных функций:

если функцию F(x) можно записать в виде (f o g)(x), производная F(x) равна f'(g(x))g'(x). Это означает, что производную композиции двух и более функций можно вычислить на основе индивидуальных производных.

• Пример: найдите производную sin(3x2 + x). В этом случае обозначим sin(3x2 + x) как "f(x)" и 3x2 + x как "g(x)". f'(g(x))g'(x) (sin(3x2 + x))' × (3x2 + x)' cos(3x2 + x) × (6x + 1) (6x + 1)cos(3x2 + x)

Если функция содержит переменные «х», «у», «z», найдите (dz/dx) и (dz/dy). То есть если функция содержит более двух переменных, для каждой дополнительной переменной необходимо найти дополнительную производную по «х». Например, если функция содержит переменные «х», «у», «z», нужно найти (dz/dx) и (dz/dy). Вы можете сделать это, продифференцировав функцию по «х» дважды – в первый раз допишите (dz/dx) у каждого продифференцированного члена с «z», а во второй раз допишите (dz/dy) при дифференцировании «z». После этого просто обособьте (dz/dx) и (dz/dy).

• Например, найдите производную x3z2 - 5xy5z = x2 + y3.
• Во-первых, продифференцируйте по «х» и допишите (dz/dx). Не забудьте применить правило нахождения производной произведения функций. x3z2 - 5xy5z = x2 + y3 3x2z2 + 2x3z(dz/dx) - 5y5z - 5xy5(dz/dx) = 2x 3x2z2 + (2x3z - 5xy5)(dz/dx) - 5y5z = 2x (2x3z - 5xy5)(dz/dx) = 2x - 3x2z2 + 5y5z (dz/dx) = (2x - 3x2z2 + 5y5z)/(2x3z - 5xy5)
• Теперь проделайте то же самое для (dz/dy): x3z2 - 5xy5z = x2 + y3 2x3z(dz/dy) - 25xy4z - 5xy5(dz/dy) = 3y2 (2x3z - 5xy5)(dz/dy) = 3y2 + 25xy4z (dz/dy) = (3y2 + 25xy4z)/(2x3z - 5xy5)

.......